Cálculo para el desbaste de una semiesfera

Normalmente para llevar a cabo el mecanizado de una concavidad esferica, será necesario realizar una operación de desbaste y posteriormente relizar el acabado. En las operaciones de desbaste se suele utilizar una técnica denominada desbaste por planos. Muchos programas de CAD/CAM la utilizan. Para tener una ligera idea de que es lo que pasa cuando la máquina está efectuando un desbaste por planos, nos fijaremos en la siguiente figura.

La ilustracion refleja una serie de cajeados circulares (es una vista desde el plano XZ). Sabiendo la profundidad de los cajeados y el radio de la concavidad, por trigonometría, podemos encontrar los puntos A,B,C y D. Por ejemplo si la concavidad esférica debe tener un radio de 20 mm, podemos saber la coordenada "X" del punto A (la coordenada "Z" la sabemos porque es la profundidad del cajeado). Para saber la coordenada "X" del punto A, nos bastará con usar las fórmulas del seno y del coseno.
Lo primero de todo será averiguar el ángulo alfa 1.
Sabemos que el seno de un ángulo es igual a la relación existente entre el cateto opuesto a ese ángulo y la hipotenusa. Pues según la ilustración tenemos que el seno de alfa 1= 3/20 ¿porqué 3? porque es la profundidad del cajeado circular; seno alfa 1=0.15. Para saber el ángulo que corresponde hay que hacer la inversa del seno con valor 0.15, que nos da (usando la calculadora científica) 8,626 grados.
Ya tenemos el ángulo. Ahora tan solo falta averiguar la distancia existente entre el punto A y el eje de simetría. Dicho de otra forma, hay que averiguar el radio que debe tener el primer cajeado circular. El coseno es la relación existente entre el cateto contiguo a ese ángulo y la hipotenusa. Por lo tanto tenemos: cos 8.626 = X/20; el coseno del ángulo 8.626 es igual a 0.988. Entonces la igualdad nos queda de la siguiente forma 0.988 = X/20. Despejando X, nos queda que X = 0.988 * 20 = 19,77. Con este ultimo paso llegamos a la conclusion de que para averiguar la cota X de los puntos A,B,C y D, podemos decir que X = cos (ángulo) * Radio.
Con estos cálculos ya tenemos el punto A. Por lo tanto ya sabemos el radio de la primera cajera. Pero.....(siempre hay un pero). Si mecanizamos la primera cajera con este radio, lo más seguro que cuando realicemos el acabado, veremos una marca, ya que en la operación de desbaste hemos llegado con el fondo de la cajera justo a un punto que también pertenece a la circunferencia. Por lo tanto, siempre es mucho mejor poner un radio con una o dos décimas de menos (en el caso de concavidades).

Bueno ahi va un ejemplo.

N020 G54
N030 T3 D3
N040 M06
N050 G0 G90 G43 X0 Y0 Z10 F200 S1000 M3
N060 G88 G99 Z2 I-3 J19.6 B3 C6 D2
N70 G88 G99 Z-2 I-6 J18.8 B3 C6 D1
N080 G88 G99 Z-5 I-9 J17.6 B3 C6 D1
N90 G88 G99 Z-8 I-12 J15.8 B3 C6 D1
N100 G88 G99 Z-11 I-15 J13 B3 C6 D1
N110 G88 G99 Z-14 I-18 J8.5 B3 C6 D1
N120 G80 G44 Z100
N130 M30

El teorema del seno

En muchas ocasiones es necesario saber una longitud determinada en un triángulo "no rectángulo". Por ejemplo, la longitud de uno de sus lados, un ángulo determinado, etc... Cuando nos encontramos con esta situación, tenemos que acudir a los teoremas del seno y del coseno. En concreto, en este teorema, el del seno, nos dice que:

La relación existente entre un lado y el seno del ángulo opuesto a ese lado, es siempre igual para todos (lados y ángulos restantes). La siguiente ilustración aclarará todo tipo de dudas.

Como se comenta arriba, la relación existente entre el lado A y el seno del ángulo alfa, es la misma que la relación existente entre el lado B y el seno del ángulo beta.

Por lo tanto:

Ejercicio de trigonometría_01

Debajo de estas lineas encontraréis una ilustración. Se trata de un ejercicio de trigonometría. En concreto hay que averiguar una altura. Para realizarlo no es necesario saber ni teoremas de cosenos ni teoremas raros y complicados. Tan solo utilizando los conceptos de triángulo rectángulo, seno, coseno y tangente podemos averiguar la altura X (la suma de los ángulos de un triángulo es de 180º). La calidad del dibujo no es muy buena, asi que os adjunto los datos por escrito también. La altura total es de 70. El ángulo del vértice es de 66º, la distancia entre aristas es de 46 y el diámetro de la bola calibre es de 14. Las unidades pongamos que son milímetros. En un par de días la solución

SOLUCION

Con estos dos triángulos rectángulos podemos averiguar la cota X de la figura.

Por lo tanto, tan solo nos queda coger la calculadora científica y realizar unas operaciones. La primera de ellas será averiguar x en el triángulo rojo (por la formula de la tangente de un ángulo), la siguiente averiguar el valor de y en el triángulo verde (por la formula del seno de un ángulo). Una vez tengamos estos dos valores, lo que queda es sumar y restar.

tg33º= 0,649 ; 0,649= 23/x ; x= 23/0,649 ; x=35,439

sin33º=0,544 ; 0,544= 7/y ; y= 7/0,544; y= 12,867

70-35,439= 34,561 ; X= 34,561 + 12,867 + 7(Radio de la bola calibre) = 54,428 mm aproximadamente.

Detalle para profundidad en taladrados

Algo obvio pero no por ello menos importante es el indicar bien al control las profundidades en los taladros. Más abajo tenemos una ilustración. Tenemos una pequeña porción de plano donde nos indica una profundidad del agujero de 10 mm (agujero 1).

Pues bien, para realizar ese taladro a una determinada profundidad, en este caso 10 mm, tenemos que hacer uso de la trigonometría ya que debemos tener en cuenta el ángulo de la punta de la broca y el diámetro de la misma. El ángulo de la punta de la broca suele ser de unos 120º (para el mecanizado de metal) y el diámetro de la broca vamos a suponer que es de Ø8mm. Ahora sabiendo estos datos estamos en disposición de averiguar cuánto más debemos taladrar con la broca para que el alojamiento cilindrico nos quede a una profundidad de 10 mm tal como nos indica el plano para el agujero 1. En esta siguiente ilustración de abajo se muestra el triángulo en color azul sobre el cual vamos a trabajar para averiguar cuánto más tenemos que profundizar.

Hagamos un zoom de ese triángulo para poder ver todo tipo de detalles.

Aqui tenemos el dichoso triangulito. De él sabemos que:

- Es rectángulo.

- Uno de sus lados mide 4 mm (el radio de la broca de Ø8mm).

- Uno de sus ángulos hace 60º (otro 30º y otro 90º). Hay que indicar que la suma de los ángulos de cualquier triángulo SIEMPRE es 180º.

Por lo tanto, podríamos deducir el cateto B mediante la fórmula de la tangente que es la siguiente:

La tangente de un ángulo es igual a la relación existente entre el cateto opuesto a ese ángulo y el cateto adyacente a ese ángulo. Dicho de otra forma seria: tg60º=4/B. Despejando tenemos que B=4/tg60º y utilizando nuestra calculadora científica obtendríamos que B tiene un valor de aproximadamente 2,31 mm. Esto nos indica que para dejar el alojamiento del taladro a una profundidad de 10mm deberíamos indicar Z-12,31 (los 10 mm + los 2,31 mm del valor del cateto B). Si hubiésemos programado Z-10, la profundidad del agujero no hubiese sido de 10 mm (seria de 7,69 mm). Habría quedado como el agujero 2 de la primera y segunda ilustración. Situación totalmente errónea.

Ejemplos con trigonometría y misceláneas

Os habréis preguntado.... ¿y que tiene que ver la trigonometría con un curso de CNC?. Pues lo tiene que ver todo. En muchas ocasiones cuando nos encontramos programando el mecanizado de una pieza, nos encontramos con la necesidad de saber el valor de un punto determinado, y tan sólo disponemos de valores de ángulos, y de alguna longitud, que directamente no nos comunica ningún resultado, pero indirectamente, mediante la trigonometría podemos conseguir la solución. Es en estos momentos cuando tenemos que recurrir a los cálculos trigonométricos.

Para muestra un botón.


Imaginad que os dicen que tenéis que desplazaros desde el punto A (X0,Y0) hasta el punto B(X ?, Y ?). Pero como os habréis dado cuenta, del punto B no tenemos ninguna coordenada. ¿Cómo podemos averiguar esas coordenadas?. Para empezar, echemos un vistazo al dibujo. Nos dicen que el ángulo del vértice B es de 60º y que la longitud de la hipotenusa es de 5. Pues bien fácil. Apliquemos algo de trigonometría. En este caso, se podría utilizar la fórmula del seno para averiguar la longitud del cateto b. Si mal no recuerdo el seno de 60º es 0,866, y también sé que el seno es la relación existente entre el cateto opuesto y la hipotenusa, por lo tatnto tengo que: 0,866 = b/5; b=5*0,866; b=4,33. Ya sabemos que la coordenada X del punto B es 4,33, o sea, B(X4.33,Y?). Tan sólo nos queda averiguar el valor del cateto a que se podría hacer por el teorema de pitágoras, pero como estamos hablando de trigonometría vamos a utilizar trigonometría. Utilizaremos la fórmula del coseno. El coseno de 60º es 0.5, por lo tanto: 0,5=a/5; a=5*0,5; a=2,5. Ya tenemos la coordenada Y del punto B. Ya sabemos que las coordenadas del punto B son B(X4.33,Y2.5). Un ejemplo sencillo e ilustrativo. En próximas entradas adjuntaré la tabla de valores para el seno, el coseno y la tangente, con una pequeña explicación de dónde vienen dichos valores.

Antes de empezar...¿Que tal un poquito de trigonometría?

Se podría decir sin temor a equivocarnos que la trigonometría es una de las ramas de la matemática que más se utiliza en muchos cálculos (Topografía, Mecánica, Física, Aeronáutica, etc...). Para el fin que nosotros la vamos a utilizar, nos basta con unos poquitos conceptos (seno, coseno y tangente), pero no por eso menos importantes.
En la figura de arriba, llamaremos seno del ángulo alfa de un triángulo rectángulo (el ángulo alfa es el que se encuentra en el lado del vértice A) a la relación existente entre el cateto opuesto a ese ángulo (cateto a) y la hipotenusa (c), o lo que es lo mismo sin (alfa) = a/c. El coseno del ángulo alfa seria la relación existente entre el cateto adyacente o contiguo al ángulo alfa (cateto b) y la hipotenusa (c), cos (alfa) = b/c. Por último la tangente es la relación existente entre el cateto opuesto entre el cateto adyacente, tg (alfa) = a/b. De momento para asimilar este concepto, lo dejamos aqui. En próximas entradas se ilustrará con algunos ejemplos.